Notre gamme musicale occidentale se construit:
- à partir d’une note initiale (choisissons Fa);
- à laquelle on adjoint la même note à l’octave (Fa)
- puis en insérant entre ces deux notes des degrés intermédiaires positionnés n quintes moins m octaves au dessus de la note de départ. Le nombre n varie de 1 à N (N=6 pour la gamme diatonique classique, N=11 pour la gamme chromatique classique). Le nombre m est choisi de telle manière à ce que la fréquence de la note obtenue soit bien située entre celles des deux Fa considérés.
Passons maintenant en revue les premières valeurs possibles de N:
- n=1, m=0
- Fa-Do-Fa
- L’octave est décomposée en deux intervalles de deux types: une quinte (Fa-Do) et une quarte (Do-Fa)
- n=2, m=1
- Fa-Sol-Do-Fa
- L’octave est décomposée en trois intervalles de deux types:
- un ton (ou seconde majeure, Fa-Sol)
- deux quartes (Sol-Do, Do-Fa)
- n=3, m=1
- Fa-Sol-Do-Ré-Fa
- L’octave est décomposée en quatre intervalles de trois types:
- deux tons (Fa-Sol, Do-Ré)
- une tierce mineure (Ré-Fa)
- une quarte (Sol-Do)
- n=4, m=2
- Fa-Sol-La-Do-Ré-Fa
- L’octave est décomposée en cinq intervalles de deux types:
- trois tons (Fa-Sol, Sol-La, Do-Ré)
- deux tierces mineures (La-Do, Ré-Fa)
- n=5, m=2
- Fa-Sol-La-Do-Ré-Mi-Fa
- L’octave est décomposée en six intervalles de trois types:
- un demi-ton diatonique (ou seconde mineure, Mi-Fa)
- quatre tons (Fa-Sol, Sol-La, Do-Ré, Ré-Mi)
- une tierce mineure (La-Do)
- n=6, m=3
- Fa-Sol-La-Si-Do-Ré-Mi-Fa
- L’octave est décomposée en sept intervalles de deux types:
- deux demi-tons diatoniques (Si-Do, Mi-Fa)
- cinq tons (Fa-Sol, Sol-La, La-Si, Do-Ré, Ré-Mi)
- ce cas correspond à la gamme diatonique de Fa naturel
- n=7, m=4
- Fa-Fa#-Sol-La-Si-Do-Ré-Mi-Fa
- L’octave est décomposée en huit intervalles de trois types:
- trois demi-tons diatoniques (Fa#-Sol, Si-Do, Mi-Fa)
- un demi-ton chromatique (Fa-Fa#)
- quatre tons (Sol-La, La-Si, Do-Ré, Ré-Mi)
- n=8, m=4
- Fa-Fa#-Sol-La-Si-Do-Do#-Ré-Mi-Fa
- L’octave est décomposée en neuf intervalles de trois types:
- quatre demi-tons diatoniques (Fa#-Sol, Si-Do, Do#-Ré, Mi-Fa)
- deux demi-tons chromatiques (Fa-Fa#, Do-Do#)
- trois tons (Sol-La, La-Si, Ré-Mi)
- n=9, m=5
- Fa-Fa#-Sol-Sol#-La-Si-Do-Do#-Ré-Mi-Fa
- L’octave est décomposée en dix intervalles de trois types:
- cinq demi-tons diatoniques (Fa#-Sol, Sol#-La, Si-Do, Do#-Ré, Mi-Fa)
- trois demi-tons chromatiques (Fa-Fa#, Sol-Sol#, Do-Do#)
- deux tons (La-Si, Ré-Mi)
- n=10, m=5
- Fa-Fa#-Sol-Sol#-La-Si-Do-Do#-Ré-Ré#-Mi-Fa
- L’octave est décomposée en onze intervalles de trois types:
- six demi-tons diatoniques (Fa#-Sol, Sol#-La, Si-Do, Do#-Ré, Ré#-Mi, Mi-Fa)
- quatre demi-tons chromatiques (Fa-Fa#, Sol-Sol#, Do-Do#, Ré-Ré#)
- un ton (La-Si)
A partir d’ici il faut considérer deux cas: soit on se place dans le cadre du tempérament égal ou les demi-tons diatonique et chromatique ont la même amplitude, soit dans celui d’un autre tempérament, par exemple celui de Pythagore ou un chromatique a une extension légèrement plus grande que celle d’un diatonique (Si# est légèrement plus aigu que Do par exemple).
- Tempérament égal:
- n=11, m=6
- Fa-Fa#-Sol-Sol#-La-La#-Si-Do-Do#-Ré-Ré#-Mi-Fa
- L’octave est décomposée en douze intervalles de deux types musicaux mais d’une seule extension tonale:
- sept demi-tons diatoniques (Fa#-Sol, Sol#-La, La#-Si, Si-Do, Do#-Ré, Ré#-Mi, Mi-Fa)
- cinq demi-tons chromatiques (Fa-Fa#, Sol-Sol#, La-La#, Do-Do#, Ré-Ré#)
- ce cas correspond à la gamme chromatique de Fa
- n=12, m=7 (pour revenir au Fa de départ)
- le degré supplémentaire serait une quinte au dessus de La# soit Mi#=Fa
- les gammes correspondant à des valeurs de N plus élevées ne produisent pas de nouvelles notes ni de nouveaux intervales, le processus est devenu cyclique.
- n=11, m=6
- Tempérament de Pythagore:
- n=11, m=6
- Fa-Fa#-Sol-Sol#-La-La#-Si-Do-Do#-Ré-Ré#-Mi-Fa
- L’octave est décomposée en douze intervalles de deux types (diatonique ≠ chromatique):
- sept demi-tons diatoniques (Fa#-Sol, Sol#-La, La#-Si, Si-Do, Do#-Ré, Ré#-Mi, Mi-Fa)
- cinq demi-tons chromatiques (Fa-Fa#, Sol-Sol#, La-La#, Do-Do#, Ré-Ré#)
- ce cas correspond à la gamme chromatique de Fa
- n=12, m=7
- Fa-Mi#-Fa#-Sol-Sol#-La-La#-Si-Do-Do#-Ré-Ré#-Mi-Fa
- L’octave est décomposée en treize intervalles de trois types (diatonique ≠ chromatique):
- un comma pythagoricien (Fa-Mi#)
- huit demi-tons diatoniques (Mi#-Fa#, Fa#-Sol, Sol#-La, La#-Si, Si-Do, Do#-Ré, Ré#-Mi, Mi-Fa)
- quatre demi-tons chromatiques (Sol-Sol#, La-La#, Do-Do#, Ré-Ré#)
- n=13, 14, 15 et 16 vont progressivement scinder les quatre demi-tons chromatiques en quatre diatoniques et quatre commas conduisant à un nouveau point d’équilibre à deux types d’intervalles. À n=16, m= 25 on obtient:
- Fa-Mi#-Fa#-Sol-Fa##-Sol#-La-Sol##-La#-Si-Do-Si#-Do#-Ré-Do##-Ré#-Mi-Fa
- L’octave est décomposée en dix-sept intervalles de deux types:
- cinq comma pythagoricien (Fa-Mi#, Sol-Fa##, La-Sol##, Do-Si#, Ré-Do##)
- douze demi-tons diatoniques (Mi#-Fa#, Fa#-Sol, Fa##-Sol#, Sol#-La, Sol##-La#, La#-Si, Si-Do, Si#-Do#, Do#-Ré, Do##-Ré#, Ré#-Mi, Mi-Fa)
- De nouveaux degrés et intervalles sont créés à chaque étape, le processus n’est jamais cyclique.
- Si N→∞, toutes les fréquences entre celles du Fa de départ et du Fa à l’octave seront produites (théoème de Kronecker).
- n=11, m=6
Observations
- le nombre d’intervalles est à tout moment inférieur à trois;
- lorsqu’il y en a trois, le plus grand est la somme des deux autres;
- pour le tempérament égal il existe un N=η critique à partir duquel il n’existe plus qu’un seul type d’intervalle et où le processus est cyclique
- pour le tempérament de Pythagore, le nombre d’intervalles n’est jamais égal à un et le processus n’est jamais cyclique. Le nombre de types d’intervalles est donc toujours de deux ou trois.
- ce sont ces observations qui, d’un point de vue musical, amènent à considérer le théorème des trois longueurs.